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6.3.04

One remark 

Hello everybody.

Instead of calculating the k value from the boundary conditions as I did below, we should take into consideration that the rate constant k represents the fractional loss of mass per unit lenght. But from the problem we know the donkey eats 1 kg of wheat per km, that is, 1 kg/km.

This means that

K = 1

so that y(x) = Yo e^ - k ( x/s ) becomes

y(x) = Yo e^ - (x/s)

This is the general equation we were searching.


As x = s when the donkey arrives at the mill we have finally

y(s) = Yo / e

This is the particular solution of the problem.

Conclusion

Analytical result: 3678,794 kg (approximate result)

Computer result: 3647,427 kg (exact result)

Difference: 31,367 kg


In a short time I'll come back at this problem to answer to the following question:

Why the discrepance above?

Regards

Manuel C. Sousa

4.3.04

The Miller and Donkey problem - SOLUTION 

Are you able to discover an equation-solution for the miller and the donkey problem?

A miller intends to carry 100 bags of wheat, contends each one 100 kg, from his house up to a mill that is distant 100 km from there. For such uses a donkey that he knows not to support a load more than 100 kg. However the problem is that the donkey when loaded it needs to ingest 1 kg of wheat for each km that it covers.

The question is: Which is the biggest amount of wheat that the miller will make to arrive to the mill?

Note 1: The bags have null weight.
Note 2: The donkey without load does not consume wheat none "



SOLUTION

1. General Solution

From my point of view we can model this problem in mathematical terms as a decay phenomenon. Our task starts with identifying the variables that are changing in the phenomenon or system and a set of reasonable assumptions about them. This mathematical model involves two related variables were

x = the space walked by the donkey at every instant.

y(x) = the remaining amount of wheat at every instant.

It also involves some constants, namely:

s = distance between the miller's home and the mill.

Yo = the initial amount of wheat when x = 0

k = rate constant (fractional loss of mass per unit length)

With respect to the set of reasonable assumptions let us assume that x and y are continuous variables and linearly related. It is intuitively clear that the amount of wheat (y) decays when the donkey advances on its path.

Thus it is easy to see the rate of change of wheat y(x) with distance (x) is proportional to the ratio between them.

(1) dy/dx = - k [y(x)/s]

where k is one constant of proportionality.

By separatin the variables and integrating both sides, we have

(2) ln y(x) = - (k/s) x + c

where c is one arbitrary constant of integration.

Since

(3) y(x) = Yo when x = 0

these are the boundary conditions. Replacing the values above into (2) we get

(4) c = ln Yo

Substituting this value of c into (2) we have

(5) ln y(x) = - (k/s) x + ln Yo

Solving the equation in order to y we arrive at

(6) y(x) = Yo e^ - (k/s) x

which is the general solution of the differential equation (1).


This problem is an example of exponential decay. The positive constant k is called the rate constant , for its value is clearly a measure of the rate wich the decrease proceeds.

K can be thought of as the fractional loss of wheat per unit lenght.


In order to continue and find y as function of x, we must have further information about k. For such a purpose let us imagine the donkey path is divided in 100 equal parts. This means each part measures 1 km lenght. The miller must unload 100 bags at the end of 1st. part and to give 100 kg of wheat to the donkey since it eats 1kg per km. Thus at this point of the path 9900 kg are remaining.


2 . Particular Solution

The desired particular solution can be found from the general solution (6) by determining the value of the constant k as we did above relatively to c.

Remembering the equation (5)

ln y(x) = - (k/s) x + ln y(x)

and solving it in order to k we get

(7) k = - [ s ln [ y(x) / Yo ) / x]


Now using the fact that

y = 9 900 kg when x = 1 km

and substituing these values into (7) we get


(8) k = 1,00503350535*


* k should be equal to 1. This means the boundary condition y(1) = 9900 is not completetly exact.


Replacing this value into the general equation (6) we arrive at


3. General Solution of the Problem


(9) y(x) = Yo e^- 1,005036 x/s


* If the last boundary condition was exact the equation (9) should be

(9.1) y(x) = Yo e^- x/s

4. Particular Solution of the Problem

Since at the moment the donkey finishes its task x = s

Thus x/s = 1

so that (9) becomes


(10) y = Yo e ^ - 1,005034

wich it is the particular solution of the problem that satisfies the following boundary conditions:


y(0) = 10 000 kg

y(1) = 9 900 kg *

* We saw above that this condition is not completelly exact.


Now placing the numerical values into (10) we finally arrive at desired answer:


y(s) = 10 000 e^ -1,00503350535


y(s) = 3 660,323 kg



Analytical result = 3 660,323 kg* (approximate result)

Computer result = 3647,427 kg (correct result)

Difference = 12,896 kg

Precision = 99,65%


* If k =1 then y(s) = Yo/e , that is, 3678,794 kg.

5. Conclusion

Before finishing I must add that in most cases a mathematical model is only an approximation of the physical condition being studied. In our problem, for example, for a specified increment of x (distance) the mass of wheat decreases by discrete amounts.

This mathematical model assumes that the decay process is a continuous function of the distance walked. In spite of these restrictions we have obtained a good approximation (99,65%) relatively to the theoretic result.

Manuel da Cruz de Sousa

Email: manuelcruzsousa@sapo.pt

Wednesday  

The homework is made. As soon as I possibly can Iwill publish here the complete solution of the miller and the donkey problem.

Have a good night.


Se o Mario Soares...

calha a passar os olhos pelo Deixei tudo por elas vai ser lindo, vai...


Vocezes...

ja' deram uma espreitadela ao meu Site tracking? Vejam Times Zones e Organization. E' so' malta estrangeira...

1.3.04

Are you able? 

Are you able to discover an equation-solution for the miller and the donkey problem?

A miller intends to carry 100 bags of wheat, contends each one 100 kg, from his house up to a mill that is distant 100 km from there. For such uses a donkey that he knows not to support a load more than 100 kg. However the problem is that the donkey when loaded it needs to ingest 1 kg of wheat for each km that it covers.

The question is: Which is the biggest amount of wheat that the miller will make to arrive to the mill?

Note 1: The bags have null weight.
Note 2: The donkey without load does not consume wheat none "


I found the equation: Y = Yo / e but this is not exact.

The numerical solution, obtained by a pascal program, is = 3647,428 kg

The equation above-mentioned yields to 3678,794 kg which exceeds in 0,85% the exact result.

Reply to manuelcruzsousa@sapo.pt or your newsgroup.

Esclarecimento sobre o burro... 

Do Frei Tomas recebi um email em que me pergunta:

Ele come antes ou depois de percorrer cada km?

A minha resposta:

O enunciado do problema e' omisso nesse pormenor. Fica portanto ao criterio do fregues. Quanto ao resultado teorico obtido (3647,428 kg), este, a 1ª. vista, parece nao ter nada a ver com a realidade pratica, pois a abordagem teorica implica um burro quantico de tamanho infinitesimal que faz deslocamentos infinitesimais.

Pura ilusao. Ha uma abordagem "pratica" que consiste em dividir a distancia casa-moinho em 64 deslocamentos crescentes ( 1km, 1.01 km,1.02 km,1.03 km ............... 2.56 km , 2.63 km , 1.42 km) que permite que o burro chegue ao moinho com 3 647,461 kg.

Como se pode ver este resultado pratico coincide quase a 100% com o resultado teorico, pelo que pode ser considerado como uma soluçao correcta. (Abordagem de topaiva, pt.ciencia geral).

O 1º resultado foi obtido atraves dum programa em Pascal; o 2º foi calculado em Excel.

Mas o meu desafio e' outro: deduzir uma equaçao que de o resultado correcto.

Cumprimentos

M. C. Sousa

Preciso de...


pelo menos 200 jarretas por dia para fundar a Ordem da Jarreteira. Assim a este ritmo nao vamos la :-)

29.2.04

Deixei tudo por elas, deixei, deixei... 

Hoje visitei o Museu Dr. Joao Soares, Cortes, Leiria. Vi a vidinha toda do pai do Mario Soares desde a infancia ate a velhice. Comecei pela leitura do assento de baptismo, correspondencias varias, etc. Mas o que me chamou mais a atençao foi o ponto de pedagogia, inserido no conjunto de provas publicas a que teve de se submeter para ser admitido no exercito como capelao militar.

O 1º topico, se bem me lembro, era de desenvolvimento e tinha algo a ver com a formaçao intelectual e civica dos educandos, tendo em vista a sua preparaçao para a cidadania. O teste, como diriamos hoje, despertou-me uma curiosidade enorme, porque eu, como professor, tambem passei pelo mesmo. Foi, pois, com delicia que me detive a ler o manuscrito.

Dizia ele que a inteligencia era uma faculdade que integrava varias forças nomeadamente: a percepçao, a memoria, a atençao, o raciocinio e nao sei que mais. Essa das forças arrancou-me um sorriso imediato. Comprende-se porque, pois o examinando falava mais como fisico do que propriamente como alguem que tinha formaçao teologica. A sua dissertaçao tinha um cunho positivista iniludivel, mas como os conhecimentos cientificos na area da psicofisiologia e afins eram mais que escassos o candidato a capelao nao teve outro remedio senao ficar-se pela retorica e pelo bla-bla da psicologia barata. Que mais podia ele fazer?

Entretanto chegavam-me aos ouvidos comentarios de outros visitantes.

Uma senhora dizia:

- Era um homem bem parecido! Mais bonito que o filho...

Uns momentos depois, a mesma senhora olhando para uma fotografia na parede:

- Eia, foi Governador Civil de Braga!... E que bem lhe ficava a cartola!...

Um homem ao lado tambem ia dizendo de sua justiça:

- Um capelao com mulher e filhos? Mas o que e' isto? Ja' nao estou a perceber nada disto. Um capelao e' padre, nao e'?

Eu sorria para dentro, mas nunca interrompendo o exame dos documentos afixados ao longo das paredes. Recapitulando: Presbitero, capelao militar, professor do Instituto dos Pupilos do Exercito, Governador Civil da Guarda, Governador Civil de Braga, vogal do Conselho Superior de Finanças, Governador Civil de Santarem, deputado pelos circulos de Guimaraes e Leiria.

De repente uma sombra. A ditadura de Sidonio Pais (5-12-1917) vem estragar-lhe a vida tao linda e singela. O ditador corre com ele do Exercito e o desventurado exila-se em Espanha. Durou cerca dum ano o desterro.

Apos o assassinato do ditador no Rossio (14-12-1918) o Dr. Joao Soares e' reintegrado no Exercito e nas suas funçoes docentes. Novos governos, novos cargos. Desta vez a parada e' mais alta: Ministro das Colonias! (1919)

A vida sorria-lhe de novo quando em 28 de Maio de 1926 o general Gomes da Costa desce de Braga a Lisboa para instituir nova ditadura. Mendes Cabeçadas assume interinamente todas as pastas do novo executivo. Nova travessia no deserto, gira o disco e toca o mesmo. Segue-se um auto-corpo de delito por deserçao e outras coisas mais. O homem nao verga. Declara-se adversario irredutivel da ditadura e conspira na clandestinidade contra o novo regime. Seguem-se julgamentos, degredos, prisoes.

Depois de ter passado com o coiro por alguns aljubes e apos reconquistada a liberdade, o nosso heroi decide ganhar juizo. Esta' farto da vida airada e quer assentar.

Dedica-se a docencia com novo animo, mas nunca abandonando de todo a actividade conspirativa. Por esta altura, homem ja' maduro, tinha ja' dois filhos no curriculum: o Tertuliano, fruto duma relaçao que parece nao ter dado certo, e o Mario, fruto duma 2ª relaçao que acabou por vingar.

A vida airada do Dr. Joao causava a mae muitos desgostos e preocupaçoes, nomeadamente as suas mancebias a margem da religiao. Por isso pediu ao filho que requeresse ao Papa a nulidade da sua ordenaçao sacerdotal ou pelo menos que o isentassem do cumprimento das suas obrigaçoes clericais. Ele decidiu fazer a vontade a mae, que na altura contava ja 86 anos. O Santo Padre deferiu-lhe o pedido (1927) e assim o Dr. Joao passou ao estado laico. Em 1935 funda o Colegio Moderno de que se tornou director.


(Nasceu em Arrabal, Leiria, a 17-11-1878, fez o secundario no liceu de Leiria e concluiu o curso Teologico em Coimbra, em 1900, apos o que foi ordenado presbitero. Foi professor, politico e pedagogo. Escreveu Historia Universal em 3 vol. , Portugal nossa Terra, etc. )

Fico por aqui senao as filhas hao-de dizer boa das obras...

Musica de fundo: Deixei tudo por ela, do Ze' Cabra.

Perdi...
os acentos do meu teclado. Andam virus pela costa, andam, andam...
O pior sao as filhas. Nao posso falar com elas como soia...


Ditos lapidares


La mia carne non mi permette d'essere santo.

Mussolini


Io sono disposta a passare su tutto, meno che sulle corna.

Claretta Petacci

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